Algebra

Questo volume nasce dagli appunti presi dall'autore alle lezioni del corso di Algebra del corso di laurea in Matematica dell'Universitµa di Pisa, tenuto dal revisore nell'anno accademico 1998 ¡ 1999, ed µe indirizzato principalmente a studenti del corso di laurea in matematica. Nel tempo intercorso dal 1998 ad oggi sono stati riformati i corsi di laurea, ed in particolare, nell'Universitµa di Pisa, l'insegnamento dell'Algebra al corso di laurea in Matematica µe stato suddiviso in due semestralitµa, una programmata per il primo anno ed una per il secondo anno. Trattandosi di una materia di base, i contenuti sono perµo rimasti sostanzialmente gli stessi. Inoltre, il corso del 1998 era stato progettato con una sua unitarietµa, che sarebbe stato, secondo noi, controproducente distruggere. Abbiamo quindi pensato di pubblicare gli appunti di quel corso cosµ³ com'erano - salvo alcune piccole revisioni -, nella convinzione che in questa forma possano essere di maggiore aiuto agli studenti, indipendentemente dalle particolari suddivisioni di questo o quel capitolo fra moduli di piµu piccola entitµa. La lettura di questo libro non richiede praticamente alcun prerequisito. Si co- mincia ricordando i nomi delle proprietµa delle operazioni (associativa, commutativa, ecc.) ed il concetto intuitivo di numeri naturali e si ¯nisce con la classica teoria di Galois. Si µe cercato di arrivare ai concetti astratti di gruppo, anello e campo con una certa gradualitµa, rivisitando le caratteristiche di entitµa che si presumono abbastanza familiari, quali i numeri interi relativi ed i polinomi, per generalizzarle in un secondo momento. A parte l'inserimento di due capitoli, uno di calcolo combinatorio e uno sulle cardinalitµa, che non sempre compaiono nei corsi di algebra, il percorso del libro da un certo punto in poi diventa quello classico: elementi di teoria dei gruppi, di teoria degli anelli e di teoria delle estensioni di campi. All'interno della teoria dei gruppi si µe dato un rilievo particolare al concetto di azione di un gruppo su un insieme, poich¶e ci µe sembrato che servisse ad inquadrare in maniera piµu naturale, e forse anche piµu facile, molti degli argomenti successivi. Nell'intento di non lasciare mai astratti una nuova de¯nizione o un nuovo teo- rema, si µe cercato di inserire, quasi dappertutto nel testo, esempi ed esercizi, quasi sempre accompagnati da una possibile risoluzione. Un ulteriore gruppo di esercizi ritenuti signi¯cativi, con relative soluzioni, µe stato poi raggruppato in Appendice. Un aspetto importante µe che molti di questi esercizi sono stati prova d'esame del corso di Algebra negli anni accademici passati e quindi possono essere un valido banco di prova per misurare la propria preparazione