Analysis of queueing system with batch service

Рассматривается система массового обслуживания, состоящая из неограниченной очереди и одного обслуживающего прибора. В систему поступает пуассоновский поток требований. Требования обслуживаются группами заданного размера. Длительность обслуживания группы требований является экспоненциально распределенной случайной величиной. Если в момент завершения обслуживания группы требований количество требований в очереди меньше заданного числа, то обслуживающий прибор простаивает до тех пор, пока в систему не поступит необходимое количество требований. Предполагается, что стационарное распределение вероятностей состояний рассматриваемой системы эквивалентно стационарному распределению процесса рождения и гибели. Получены выражения для вычисления интенсивностей переходов процесса рождения и гибели через параметры системы. Доказаны свойства «предельной» интенсивности обслуживания. Получено выражение для вычисления математического ожидания длительности пребывания требований в системе с групповым обслуживанием требований

In this paper we consider a single server queueing system with infinite buffer and Poissonian arrivals. Requests are served in fixed-size batches with exponentially distributed service time. If the number of requests in the queue is less than the predefined batch size at the time of service completion, the server remains idle until the required number of requests (batch size) arrives. To analyze such queueing system, an equivalent birth-death process is introduced and its transition rates are derived in terms of the parameters of the original system. Then, the properties of the asymptotic service rate are investigated and the analytical expression of the average sojourn time in the system is derived