A novel method for generating the optimal routing matrix of queuing networks with batch service

Рассматривается открытая сеть массового обслуживания большой размерности. В сеть обслуживания из источника поступает пуассоновский поток требований одного класса. Связь между системами сети массового обслуживания определяется маршрутной матрицей. Каждая система сети состоит из одного прибора и очереди бесконечной длины. Прибор обслуживает требования только груп- пами заданного размера. Длительность обслуживания группы требований является экспоненциально распределенной случайной величиной. После окончания обслуживания требования из обслуженной группы маршрутизируются между системами обслуживания по одному независимо друг от друга. Сеть обслуживания построена таким образом, что число систем обслуживания, в которые могут перейти требования после обслуживания группы требований, намного больше размера этой группы. Предполагается, что вероятности переходов требований между системами сети обслуживания срав- нимы. Предлагается метод формирования оптимальной маршрутной матрицы, которая обеспечивает минимальные значения математических ожиданий длительностей пребывания требований в системах сети обслуживания. Приводятся условие для относительных интенсивностей потоков, при котором топология сети массового обслуживания является радиальной (звездообразной), и выражения для вычисления оптимальных интенсивностей входящих потоков требований в системы сети обслуживания. Приведены примеры формирования оптимальной маршрутной матрицы и применения предложенного метода формирования маршрутной матрицы для коррекции потоков в сети массового обслуживания с изменяющимся числом связей между системами сети обслуживания

In this paper, we consider a large-scale open queuing network. The arrival process in the queueing network is Poissonian. Сustomer transitions between nodes are described by the routing matrix. Each node consists of a single server and an infinite waiting queue. Customers are served as a unique batch of a given size with exponentially distributed service time. After the completion of service, customers are routed between nodes one at a time, independently of each other. We assume that, at any node, the number of destinations is much larger than the batch size. We also assume that the transition probabilities of customers between nodes are comparable. In this paper, we propose a method for generating the optimal routing matrix that provides the minimum average sojourn times in each node. We also provide a condition for relative arrival rates, under which the queuing network topology is radial (star-shaped), and expressions for optimal input rates to nodes. Finally, examples of the optimal routing matrix for different values of the overall input rate and in case of link failures are presented.