Nell'analisi infinitesimale contemporanea, i numeri infinitesimi non esistono. Storicamente non sempre e' stato cosi'. Prima della ricerca fondazionale che porto' alla attuale formalizzazione del concetto di numero reale alla fine del XIX secolo, l'uso diretto di quantita' infinitesime e' stato pratica comune per secoli. Anzi, fu proprio grazie alla manipolazione di quelle "quantita' evanescenti" che vennero scoperti molti teoremi fondamentali dell'analisi. Recentemente, all'inizio degli anni Sessanta, il logico matematico Abraham Robinson ha introdotto l'analisi nonstandard. Facendo uso della teoria dei modelli, Robinson e' riuscito a porre su basi rigorose l'uso dei numeri infinitesimi, dando cosi' una possibile soluzione ad un problema storico. L'analisi nonstandard ha interessanti conseguenze in diversi ambiti. Essa consente di rileggere sotto una nuova prospettiva alcuni aspetti della storia del calcolo, spesso presentati assumendo come necessariamente contraddittorio l'uso delle quantita' infinitesime. Piu' in generale, nell'ambito dell'epistemologia e della filosofia della matematica, i risultati fondazionali di Robinson possono fornire un contributo alla classica discussione sul tema dell'infinito. Nella ricerca, i metodi nonstandard sono stati usati in diverse aree della matematica pura e applicata, portando ad interessanti risultati. Infine l'analisi nonstandard offre spunti rilevanti anche dal punto vista didattico. I numeri infinitesimi ed i loro reciproci infiniti permettono infatti di formalizzare le idee di numero "piccolo" e di numero "grande". Di conseguenza, le nozioni fondamentali del calcolo sono formulabili in termini piu' semplici e piu' vicini all'intuizione.
I numeri infinitesimi e l'analisi nonstandard
DI NASSO, MAURO
2003-01-01
Abstract
Nell'analisi infinitesimale contemporanea, i numeri infinitesimi non esistono. Storicamente non sempre e' stato cosi'. Prima della ricerca fondazionale che porto' alla attuale formalizzazione del concetto di numero reale alla fine del XIX secolo, l'uso diretto di quantita' infinitesime e' stato pratica comune per secoli. Anzi, fu proprio grazie alla manipolazione di quelle "quantita' evanescenti" che vennero scoperti molti teoremi fondamentali dell'analisi. Recentemente, all'inizio degli anni Sessanta, il logico matematico Abraham Robinson ha introdotto l'analisi nonstandard. Facendo uso della teoria dei modelli, Robinson e' riuscito a porre su basi rigorose l'uso dei numeri infinitesimi, dando cosi' una possibile soluzione ad un problema storico. L'analisi nonstandard ha interessanti conseguenze in diversi ambiti. Essa consente di rileggere sotto una nuova prospettiva alcuni aspetti della storia del calcolo, spesso presentati assumendo come necessariamente contraddittorio l'uso delle quantita' infinitesime. Piu' in generale, nell'ambito dell'epistemologia e della filosofia della matematica, i risultati fondazionali di Robinson possono fornire un contributo alla classica discussione sul tema dell'infinito. Nella ricerca, i metodi nonstandard sono stati usati in diverse aree della matematica pura e applicata, portando ad interessanti risultati. Infine l'analisi nonstandard offre spunti rilevanti anche dal punto vista didattico. I numeri infinitesimi ed i loro reciproci infiniti permettono infatti di formalizzare le idee di numero "piccolo" e di numero "grande". Di conseguenza, le nozioni fondamentali del calcolo sono formulabili in termini piu' semplici e piu' vicini all'intuizione.I documenti in IRIS sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
