Studio di Alcuni Punti Notevoli del Trapezio

I punti notevoli del triangolo sono stati i protagonisti di una notevole quantità di articoli e libri, la cui produzione toccò il suo massimo a fine ’800. Recentemente alcuni matematici come, per esempio, R.Kimberling, hanno ritrovato interesse per i punti notevoli del triangolo. Sorprendentemente, invece, non sono stati portati avanti analoghi studi sui punti notevoli del quadrangolo e del quadrilatero. Per il quadrilatero completo (quattro lati e sei vertici) si pu`o fare riferimento ai contributi di G.Steiner; mentre per quanto riguarda il quadrangolo completo (quattro vertici e sei lati) la bibliografia si riduce a qualche decina di articoli, tra loro disconnessi. Uno studio sistematico di questo argomento è stato fatto da B.Scimemi, che si è avvalso anche della collaborazione di alcuni suoi studenti. La maggior parte di trattazioni precedenti si riferisce al caso in cui ogni coppia di lati opposti del quadrangolo s’incontra al finito. Resta così escluso il caso del trapezio, che sarà invece l’oggetto di questa tesi. Il trapezio merita di essere studiato a parte, in quanto molte nozioni per questa classe di figure si semplificano notevolmente rispetto al caso generale. Vedremo, in particolare, che: si può dare una caratterizzazione della classe dei trapezi mediante una semplice relazione geometrica tra tre particolari punti notevoli (OGH) del quadrangolo completo; lo studio dei punti notevoli del trapezio viene semplificato poiché molte figure antisimili del quadrangolo diventano simili nel caso del trapezio; è possibile, a differenza che nel caso generale, ricostruire il trapezio con riga e compasso a partire da alcuni (quattro) suoi opportuni punti notevoli; la descrizione analitica dei punti notevoli usati per la ricostruzione aiuta a definire il luogo geometrico in cui deve trovarsi un punto notevole una volta fissati gli altri tre affinché i vertici del trapezio abbiano coordinate reali.